Polyhedral embeddings of the Flat Square Torus
Plongements polyédriques du tore carré plat
Résumé
In 1996 Burago and Zalgaller showed the following theorem: Theorem (Burago and Zalgaller): Let S be a polyhedral surface, then S admits an isometric PL embedding in E3. This theorem shows in particular that the Flat Square Torus admits an isometric PL embedding in E3. In 1997 Zalgaller constructs such an embedding of Flat Rectangular Torii into E3. In the first part of this work, we do show an isometric embedding du Flat Square Torus in E3. This first result is stated as follows: Theorem: There is an isometric PL embedding of the flat Square Torus with at most 48 points. We know that the minimal triangulation of the flat torus is the Moebius Torus M. The 1-skeleton of the Moebius Torus is the graph K7. We consider GE(M, T2) the set of all geodesic triangulations of T2 isomorphic to M modulo translations. In the second part of this work, we give a complete description of this set : - The configuration space GE(M, T2) is the disjoint union of 12 products of 6-simplex. We writte LT(E3) the set of lineal isometric embeddings of a triangulation T of T2 in E3, in the third part of this worg, we have the following result : - There is a 12-dimensional neighborhood N(S) of a 6-diensional set S such that for every T in E3, we have LT(E3)= Ø
En 1996, Burago et Zalgaller ont montré le théorème suivant : Théorème (Burago et Zalgaller) : Soit S une surface polyédrique, alors S admet un plongement isométrique PL dans E3 . Ce théorème nous montre en particulier que le tore plat carré admet un plongement isométrique PL dans E3. En 1997, Zalgaller construit un tel plongement de tore rectangulaires plats longs. Dans la première partie de cette thèse, on fait un plongement isométrique du tore carré plat T2 dans E3. Ce premier résultat est énoncé dans le théorème suivant : Théorème : Il y a un plongement isométrique PL du tore carré plat T2 avec au plus 48 points. On sait que la triangulation minimale du tore plat est le tore de Moebius M. Le 1-squelette du tore de Moebius est le graphe K7. On considère l’ensemble GE(M, T2) de toutes les triangulations géodésiques de T2 isomorphes à M, modulo translations. Dans la deuxième partie de la thèse, on donne une description complète de cet ensemble : - L’espace de configurations GE(M, T2) est l’union disjointe de 12 produits de 6-simplexes. On dénote par LT(E3) l’ensemble de plongements linéaires isométriques d’une triangulation T de T2 dans E3, on a dans la troisième partie de la thèse le résultat suivant : -Il existe un voisinage N(S) de dimension 12 d’un certain ensemble S tel que pour chaque T in N(S), on a LT(E3)=Ø
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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